Probabilitas ( Teori Antrian )

Probabilitas

1.         Pendahuluan

 

·         Percobaan : proses yang menghasilkan data

·         Ruang Contoh (S) :  himpunan yang memuat semua kemungkinan hasil percobaan

·         Kejadian = Event  : himpunan bagian dari ruang contoh

Misal :             Dari sekumpulan 52 kartu bridge S : { sekop, klaver, hati, wajik },

kita hanya tertarik pada kejadian A munculnya kartu yang berwarna merah. 

A : {hati, wajik }

·      Titik Contoh: Anggota Ruang Contoh/Kejadian

·      Konsep Dasar (Klasik) Peluang

Peluang kejadian A dinotasikan sebagai P(A)

Jika setiap titik contoh mempunyai peluang yang sama maka :

n          : banyak titik contoh penyusun Kejadian

N         : banyak titik contoh dalam Ruang Contoh (S)

·      Nilai Peluang Kejadian A  ®       0 £ P(A) £ 1

            dan 

P  (S) = 1         ®        Peluang Kejadian yang pasti terjadi

P (Æ) = 0         ®        Peluang Kejadian yang pasti tidak terjadi

Contoh 1:       

Percobaan:       Pelemparan sebuah dadu setimbang (balanced) sebanyak 1 kali

                        S : {sisi-1, sisi-2, sisi-3, sisi-4, sisi-5, sisi-6}

                        N = 6

Kejadian A:     Munculnya sisi dadu bernilai GENAP dalam pelemparan sebuah dadu

setimbang (balanced) sebanyak 1 kali

                        A {sisi-2, sisi-4, sisi-6}

                        n = 3

Peluang kejadian A:   

2.         Penghitungan Banyak Titik Contoh

2.1       Kaidah Penggandaan = Kaidah Perkalian

Kaidah Penggandaan:

Jika      operasi ke-1 dapat dilakukan dalam n1 cara

                        operasi ke-2 dapat dilakukan dalam n2 cara

                                    :

                                    :

                        operasi ke-k dapat dilakukan dalam nk cara

maka k operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam n1 ´ n 2 ´ …´ nk cara

Contoh 2:

Berapa banyak bilangan 4 digit yang dapat dibentuk dari angka 3, 4, 6, 7, dan 8

a.         jika semua angka boleh berulang?   

            5 ´ 5 ´ 5 ´ 5 = 625

b.         jika angka tidak  boleh berulang?

5 ´ 4 ´ 3 ´ 2  = 120

c          jika bilangan tersebut: GANJIL  dan angka tidak boleh berulang?

            4 ´ 3 ´ 2 ´ 2 = 48

 

d.         Berapa peluang bilangan yang muncul adalah bilangan GANJIL dan angka tidak

berulang (lihat Kejadian c) pada kondisi pembentukan bilangan 4 digit, angka boleh berulang (lihat Kejadian A)

                        n = 48                          N = 625

                        P(C) =

2.2.      Permutasi

Permutasi sejumlah obyek adalah penyusunan obyek tersebut dalam suatu urutan/posisi tertentu.

Dalam permutasi urutan/posisi diperhatikan!!!

Misal:

Dari huruf A, B, C ® permutasi yang mungkin:  ABC ¹ ACB ¹ BAC¹BCA¹CAB¹ CBA.  Permutasi = 6 = 3 ´ 2 ´ 1= 3!

·      Dalil-1 Permutasi:   Banyaknya Permutasi n benda yang berbeda adalah n!

Konsep Bilangan Faktorial

n! = n ´ (n-1) ´(n-2) ´.... ´ 2 ´ 1

0! = 1                                       1! = 1

100! = 100 ´ 99!

100! = 100 ´ 99 ´ 98!, dst     

Contoh 3:

Berapa cara menyusun bola lampu merah, biru, kuning dan hijau ?

Terdapat 4 objek berbeda : merah, kuning, biru dan hijau ® 4! = 4´ 3 ´ 2 ´ 1 = 24

Berapa peluang susunan lampu tersebut adalah Kuning-Biru-Hijau-Merah?

P(KBHM) =

·      Dalil-2 Permutasi :

Banyaknya permutasi r benda dari n benda yang berbeda adalah :

           

Perhatikan dalam contoh ini urutan/posisi obyek sangat diperhatikan!

Contoh 4:

Dari 40 nomor rekening akan diundi untuk memenangkan 3 hadiah yang berbeda.  Undian urutan pertama akan memperoleh rumah, undian urutan kedua memperoleh mobil dan undian urutan ketiga memperoleh  paket wisata ke Eropa.  Berapa banyaknya susunan pemenang yang mungkin terbentuk?

= 59280

Jika anda hanya mempunyai 1 rekening, maka peluang anda menjadi salah satu pemenang adalah: P(Menang) =

·      Dalil-3 Permutasi Melingkar: Banyaknya permutasi n benda yang disusun  dalam suatu lingkaran adalah (n-1)! 

Contoh 5:

Enam orang bermain bridge dalam susunan melingkar.  Berapa susunan yang mungkin dibentuk?    n = 6 maka permutasi melingkar = (6-1)! = 5! = 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´1 = 120

Sampai Dalil ke-3, kita telah membahas permutasi untuk benda-benda yang berbeda.  Perhatikan permutasi ABC, terdapat 3 objek yang jelas berbeda. 

Bagaimana jika kita harus berhadapan dengan A1A2B1B2C1C2 dan A1=A2=A dan B1=B2=B dan C1=C2= C?

Dalil-4 Permutasi Obyek yang Sama:

Banyaknya permutasi untuk sejumlah n benda 

di mana           jenis/kelompok            pertama           berjumlah n1

                                    jenis/kelompok            kedua              berjumlah  n2

                                                :                                                           :

                                                :                                                           :

                                    jenis/kelompok            ke-k                 berjumlah  nk

            adalah              :

n  = n1 + n2 + . . . + nk                                  

                                               

Contoh 6:

Berapa permutasi dari kata STATISTIKA?   S = 2; T = 3; A = 2;  I = 2; K = 1

Permutasi        =                         

Contoh 7:

Dari 7 orang mahasiswa akan dilakukan pemisahan kelas.  3 orang masuk ke kelas pertama,  2 orang masuk ke kelas kedua dan 2 orang masuk ke kelas ketiga.

Ada berapa cara pemisahan? 

2.3       Kombinasi

Kombinasi r obyek yang dipilih dari n obyek adalah susunan r obyek tanpa memperhatikan urutan/posisi

Misalkan:         Kombinasi 3 dari 3 obyek A, B dan C adalah:

ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA ( Hanya terdapat 1 kombinasi)         

·      Dalil-1 Kombinasi :            Kombinasi r dari n obyek  adalah

Contoh 8:

Dari 40 nomor rekening akan diundi untuk memenangkan 3 hadiah yang sama. Berapa banyaknya susunan pemenang yang mungkin terbentuk?

= 9880

           

Jika anda hanya mempunyai 1 rekening, maka peluang anda menjadi salah satu pemenang adalah: P(Menang) =

2.4       Kaidah Perkalian & Kombinasi

Dalam banyak soal, kaidah penggandaan/perkalian  dan kombinasi seringkali digunakan bersama-sama.

Contoh 9: 

Manajer SDM mengajukan 10 calon manajer yang berkualifikasi sama, 5 calon berasal dari Kantor Pusat, 3 calon dari Kantor cabang dan 2 dari Program Pelatihan manajer. 

(a)        Berapa cara Manajer SDM dapat memilih 6 manajer baru dengan ketentuan 3 berasal

dari Kantor Pusat. 2 dari Kantor Cabang dan 1 dari Program Pelatihan manajer?

Pemilihan 3 dari 5 calon dari Kantor Pusat                = 

Pemilihan 2 dari 3 calon dari Kantor Cabang             = 

Pemilihan 1 dari 2 calon dari Program Pelatihan        = 

n = Pemilihan Manajer = 10 ´ 3  ´  2 = 60 cara         

(b)        Berapa cara memilih 6 dari 10 kandidat manajer?

N = Pemilihan  6 dari 10 kandidat manajer  = 

(c)        Berapa peluang 6 manajer baru tersebut terdiri dari 3 dari Kantor Pusat, 2 dari

Kantor Cabang dan 1 dari Program Pelatihan?

P(manajer) =

---